9.点积与对偶性

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随手记

点积：向量对应元素相乘

$\vec{w}·\vec{v}$ 直观的几何意义：$\vec{w}$ 向量投影的长度和 $\vec{v}$ 向量的长度相乘，即 $\vec{w}·\vec{v}=|\vec{w}||\vec{v}|\cos\theta$
但是为什么？不仅是数字巧合，还有代数与线性变换的对应关系。
点积与顺序无关。

为什么点积和投影有所联系？——对偶性。

一个 $1×2$ 矩阵 和 二维向量 似乎就是放倒和立起来的关系，但就从数值表达上看没什么意义。
将向量转化为数的线性变换和这个向量本身有着某种关系。

假设还不知道点积和投影的关系：

在二维空间中放一个数轴，将二维向量直接投影到这条数轴上，这相当于定义了一个从二维向量到数的一个函数（线性变换）。
注意这个 $\hat u$ 是二维空间的一个向量，只是刚好在数轴上。

接下来需要找到这个投影线性变换的矩阵。

巧合的是，基底变换后恰为 $\hat u$ 的坐标，这个矩阵为 $[u_x,u_y]$。
而按照线性变换，空间中其他向量变换后的坐标为投影矩阵和这个向量相乘。

这就是为什么单位向量的点积可以解读为将向量投影到单位向量所在的直线上所得到的投影值。

注意，这里谈到的只是空间里有一个通过将空间投影到给定数轴上 来定义的线性变换。恰好这个变换是线性的，就可以用 $1×2$ 矩阵来描述。并不是由向量数值或点积运算定义得到。

最后，无论何时，一个二维到一维的线性变换，空间中会存在唯一的向量 v 与之相关。