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7. 逆矩阵、列空间与零空间

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“To ask the right question is harder than to answer it ——Georg Cantor”
“提出正确的问题比回答它更困难 ——格奥尔格·康托尔”

随手记

线性代数描述对空间的操纵，但被广泛应用的原因是可以求解特定的方程组——线性方程组。

Ax⃗=v⃗A\vec{x} = \vec{v} ，矩阵 AA 代表一种线性变换。求解该方程，意味着寻找一个向量 x⃗\vec{x} ，在变换后与 v⃗\vec{v} 重合。
换句话说，方程的解依赖于 变换 AA 。

考虑到变换后可能保持空间维度，或者将空间压缩到低维，甚至零维。可以分为两种情况：AA 的行列式为零，AA 的行列式不为零。

AA 的行列式不为零：有且仅有一个向量可以与 v⃗\vec{v} 重合，此时可以通过逆变换找到 x⃗\vec{x}。
这个逆变换也就是 A−1A^{-1}，也就是说 A−1A=IA^{-1}A = I 是一个"什么都不做"的变换——恒等变换 II。

AA 的行列式为零：此时没有逆变换，不能将一条线“解压缩”为一个平面。否则会映射为多个向量，但函数不能这样。

此时如果 v⃗\vec{v} 恰好在压缩后的空间上，那么解存在，否则解不存在。

“秩（rank）代表变换后的空间维度”。当变换的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，称这个变换的秩为 1。变换后在二维平面，称变换的秩为 2。秩与列数相等时称为满秩。

列空间（Column space）：所有可能的输出向量 Av⃗A\vec{v} 构成的集合。换句话说，列空间就是矩阵的列张成的空间。

零向量：
一定被包含在列空间中，因线性变换保持原点位置不变。
对满秩变换来说唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身。

而对非满秩矩阵，它将空间压缩到更低的维度上，会有一系列向量在变换后成为零向量。

零空间：在变换后落在原点的向量集合被称为所选矩阵的“零空间”或“核”。
在线性方程中，如果Ax⃗=v⃗=0⃗A\vec{x}=\vec{v} = \vec{0} 那么，零空间就是这个方程的所有可能解。

列空间让我们清楚什么时候解存在，零空间让我们理解所有可能解是什么样子的。

标准定义

逆矩阵

设 AA 是 nn 阶方阵，若存在一个 nn 阶方阵 BB ，使得 $$AB = BA = \mathrm{I}_n$$ 则称 BB 是 AA 的逆阵，记为 B=A−1B = A^{-1}。凡有逆阵的矩阵都可以成为可逆阵或非奇异阵，否则称为奇异阵。

秩

极大无关组：
设在线性空间 VV 中 有一族向量 SS （其中可能只有有限个向量，也可能有无限多个向量），如果在 SS 中存在一组向量 α1,α2,…,αr{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r} 适合如下条件：
（1） α1,α2,…,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r 线性无关；
（2）这族向量中的任意一个向量都可以 α1,α2,…,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r 用线性表示，
那么称 α1,α2,…,αr{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r} 是向量族 SS 的极大线性无关组，简称极大无关组。

向量组的秩：
向量族 SS 的极大无关组所含的向量个数称为 SS 的秩，记做 rank(S)\mathrm{rank}(S) 或 r(s)\mathrm{r}(s)。

矩阵的秩：
设 AA 是 m×nm×n 矩阵，则 AA 的 mm 个行向量的秩称为 AA 的行秩；AA 的 nn 个行向量的秩称为 AA 的列秩。
可以证明行秩等于列秩。

线性映射的像与核

设 φ\varphi 是数域 K\mathbb K 上线性空间 VV 到 UU 的线性映射，φ\varphi 的全体像元素组成 UU 的子集称为 φ\varphi 的像，记为 Imφ\mathrm{Im}\varphi。又，VV 中在 φ\varphi 下映射为零向量的全体向量构成 VV 的子集，称为 φ\varphi 的核，记为 Kerφ\mathrm{Ker}\varphi