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3. 矩阵与线性变换

视频

“Unfortunately，no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself. – Morpheus”
“很遗憾，矩阵是什么是说不清的。你必须自己亲眼看看 ——墨菲斯”

随手记

“变换”本质上是“函数”的一种花哨的说法，他接受输入内容，并输出对应结果。

“线性变换”限制了是“线性”的，变换后，直线仍然是直线，原点保持固定。总的来说可以看作是“保持网格线平行并等距分布”的变换。

通过记录基向量的变换来确定其他向量的变换。

通过矩阵记录基的变换，若要得到变换后的坐标，只需将原向量左乘变换矩阵即可。

矩阵记录了线性变换。若矩阵的列线性相关，以 2×22×2 矩阵为例，该矩阵所进行的线性变换将整个二维空间挤压到他们所在一条直线上，也就是这两个向量张成的一维空间。

每当看到一个矩阵时都可以将其解读为对空间的一种特定变换。

标准定义

上面所说的矩阵严格来说应该称为过度矩阵 u

线性映射

设 φ\varphi 是数域 K\mathbb{K} 上线性空间 VV 到 KK 上线性空间 UU 的映射，如果 φ\varphi 适合下列条件：
（1）φ(α+β)=φ(α)+φ(β),α,β∈V;\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta), \alpha,\beta \in V;
（2）φ(kα)=kφ(α),k∈k,α∈V,\varphi(k\alpha) = k\varphi(\alpha), k\in \mathbb{k}, \alpha \in V,
则称 φ\varphi 是 V→UV \rightarrow U 的线性映射。 VV 到自身的线性映射称为 VV 上的线性变换。