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2. 线性组合、张成的空间与基

视频

“Mathematics requires a small dosc, not of genius, but of an imaginative freedom which, in a larger dosc, would be insanity ——Angus K. Rodgers”
“数学需要的不是天赋，而是少量的自由想象，但想象太过自由又会陷入疯狂 ——A.K. 罗杰斯”

随手记

ps：xy坐标系

一个有趣的观点，一个向量实际上是对单位向量进行放缩并相加的结果。这样的单位向量被称为基向量。将坐标看作标量，基向量就是这些标量所放缩的对象。 基向量的选择不是唯一的，完全可以随意确定两个不同的向量作为基向量，他同样可以得到整个二维平面。 当使用数字描述向量时，他依赖于使用的基向量。

两个向量标量乘法之和的结果被称为这两个向量的线性组合。线性：可以这么理解，固定其他标量，变化一个标量，向量重点所经过的路径为一条直线。

所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合被称为给定向量张成的空间（span）。

两个向量张成的空间实际上是问：仅通过向量加法与向量数乘这两个种基础运算能获得的所有可能的集合是什么。

在一个线性组合中，如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，那么称其为线性无关的，否则线性相关。

在二维中，如果两向量共线，则张成的空间只有一条线；若共点，张成的空间也只有一个点。

向量空间的一个基是张成该空间的一个线性无关向量集。

标准定义

线性组合

设 VV 是 k\mathbb{k} 上的线性空间，α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 和 β\beta 均是 VV 中的向量，若存在 k\mathbb{k} 中的 nn 个数 k1,k2,…,knk_1,k_2,\dots,k_n ，使

β=k1α1+k2α2+,…,+knαn，\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ,\dots, + k_n\alpha_n，

则称 β\beta 是 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 的线性组合，或 β\beta 可由 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性表示。

线性相关或无关

设 VV 是数域 k\mathbb{k} 上的线性空间，α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 是 VV 中的 nn 个向量，若存在 k\mathbb{k} 中 不全为零的 nn 个数 k1,k2,…,knk_1,k_2,\dots,k_n，使

k1α1+k2α2+,…,+knαn=0，k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ,\dots, + k_n\alpha_n = 0，

则称 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性相关。反之，若 k\mathbb{k} 中不存在不全为零的数 k1,k2,…,knk_1,k_2,\dots,k_n，使上式成立，则称 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性无关或线性独立。

基

设 VV 是数域 k\mathbb{k} 上的线性空间，若 VV 中存在线性无关的向量 e1,e2,…,ene_1,e_2,\dots,e_n ，使得 VV 中任一向量均可表示为这组向量的线性组合，则称 e1,e2,…,en{e_1,e_2,\dots,e_n} 是 VV 的一组基，线性空间 VV 称为 nn 维线性空间（具有维数 nn）。
如果不存在有限个向量组成 VV 的一组基，则称 VV 是无限维线性空间。