16.克莱默法则

随手记

克莱默法则不是解方程的好方法。

作者只考虑了行列式非零的情况。

克莱默法则中解的形式为 $x_j = \frac{|D_j|}{|D|}$，其中 $D$ 为系数行列式，$D_j$ 为 $D$ 中第 $j$ 列替换为 $\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$。

这里主要解释了为什么是这种形式。

一个线性方程组（考虑二维）$Ax=b$ ，解这个线性方程组可以看作是寻找一个向量 $x$，使得他被 $A$ 变换后的向量是 $b$。

如上图，在原基底下，对于这个坐标值 $x$ 的表示，可以看作是向量 $[x,y]^T$ 和 $\hat i$ 组成的平行四边形面积。对于 $y$ 同理可以考虑 $\hat j$ 与向量组成的面积。推广到三维就是体积：

例如该图中的向量围成的平行六面体体积就是 $y$ 的坐标值。

在二维下，考虑到 $A$ 对 $x$ 的变换作用，其面积的伸缩比例都等于给定的变换矩阵的行列式 $|A|$。

此时，对于上面提到基底和 $[x,y]^T$ 组成的平行四边形，在经过 $A$ 的变换后，向量分量坐标值 $i$ 与 基底组成的平行四边形面积应该为 ${\rm Area} = |A|i$。从形式上易知，变换后的平行四边形面积与变换矩阵的行列式之比为向量分量坐标值。

下面的关键是这个变换后的面积如何求出？

注意到 $[x,y]^T$ 变换后的向量为 $b$，$A$ 中的列可以看作变换后的基底（考虑的 $|A|$ 非零情况），这时和前文的平行四边形构造一致，使用 $b$ 替换掉 $A$ 第 $j$ 列即可，这个新的矩阵记为 $A_j$。那么 $|A_j|$ 记为变换后的四边形面积。

那么就有 $x_j = \frac{|A_j|}{|A|}$。

最后，克莱默法则虽然不适用手动解方程，但计算机计算常用此法。且该方法对于微分几何有奇效。