13.特征向量与特征值

“上一次演讲中我问道：‘数学对于你来说意味着什么？’ 有些人回答：‘处理数字，处理结构’ 那么如果我问音乐对你来说意味着什么，你会回答‘处理音符吗？’ ——塞尔日·兰”

随手记

在线性变换中，存在一种特殊向量在变换后没有发生旋转，只有拉伸，不会离开它原本所在的直线。这些特殊的向量就被称为 “特征向量”，他们都有一个特殊值——“特征值”，该值正负没有什么特殊意义，但其绝对值描述了“特征向量”的拉伸倍数。

ps: 从特征值的几何意义可以轻松看出 $|A| = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots +\lambda_n$ ，因原始的基底长度默认为单位 1 ，变换后每一基底扩大 $\lambda_i$ 倍。

特征向量： $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$ ，求解该式等价于求解 $\det(A-\lambda I)=0$

但是注意，不是所有变换都有实特征值，特征值为复数时，一般对应于变换中的某种旋转。

特征基，对角矩阵，有许多良好性质，例如幂乘。
通过线性变换将特征向量作为新的基向量：

这样得出的基称之为特征基。

不是所有的矩阵都可以对角化，例如剪切变换，他的特征向量不够多，不能张成全空间。

结尾的问题：

问题解答：

斐波那契数列矩阵

特征向量

设 $\varphi$ 是数域 $\mathbb K$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换，若 $\lambda \in \mathbb K$ ， $x \in V$ 且 $x \ne 0$ ，使

\varphi (x)=\lambda (x),

则称 $\lambda$ 是线性变换 $\phi$ 的一个特征值，向量 $x$ 称为 $\varphi$ 关于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

特征多项式

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，称 $|\lambda I_n -A|$ 为 $|A|$ 的特征多项式。