12.基变换

随手记

如何在不同坐标系下相互转化？

过渡矩阵：

啊，这个颠倒的感觉我也有。过渡矩阵将新基底下的坐标变成原基底的坐标。

如果要求原基底的坐标在新基底下的表示，采用过渡矩阵的逆阵：

这是一个新的变换，代表将新基底向原基底变换。

这样一看就没有那么颠倒了：

对于基变换而言这里提到了两种理解：一是作为从线性变换的角度，变换前后都默认使用原来的网格（基底）表示向量。另一种理解，将矩阵看作一个坐标翻译器，向量始终没有变化，但通过这个翻译器将表示向量的坐标再两个网格下相互转化，坐标系变了。

详细解释：
假设转换矩阵为 $A$，转换后基底下坐标 $(1,2)$ 为 $B$，但在原基底下坐标为 $(1,2)$ 时的向量为 $C$ ($C$ 和 $B$ 不是同一向量)，转后后的基底坐标再原基底下的坐标实际为 $X$。

• 按照线性变换的角度，是将错误理解的 $C$ (注意错误理解的 $C$ 的坐标也是 $(1,2)$，只不过是在原基底下) 通过线性变换转换成 $X$ 或者说 $B$。在空间中 $B$ 和 $X$ 就是同一个向量，只不过名字不一样，坐标表示不一样，但是空间中的位置就在那里，那么在原基底下就可以通过变换将错误理解的坐标 $C$ 转换的他原本的位置上。这里向量 $X$ 或者说 $B$ 是没有变的，变的是 $C$。
• 按照翻译器的角度，$B$ 和 $X$ 是两个向量，虽然他们模长方向都相同，但他们采用了不同的描述方式（基底不同导致的坐标不同），但这描述方式的问题在于，在各自的描述体系下可以对应到对方内容上，以产生混淆。类似于英语中说 cow 是在说奶牛，而在中文中相同的发音 kao【靠】 却是不礼貌的感叹词。那么就需要有一个翻译器将 cow 翻译成奶牛。这里的矩阵 $A$ 就可以当作翻译器，他将 $B$ 正确的翻译为 $X$，也就是正确的用原基底的坐标描述 $B$，这个坐标就是 $X$。

所以说向量的坐标表示不是唯一的。

如何转化一个矩阵：

首先转换成原基底的坐标，再旋转 $90^\omicron$，最后使用逆变换转化为目标基底坐标。用上述式子的结果乘以任何目标基底下的向量，将得到该向量旋转 $90^\omicron$ 的结果。

总的来说，当看到 $A^{-1}MA$ 时，按时着数学上的转移作用，中间的矩阵 $M$ 代表一种变换，两边的矩阵代表转移作用。