11.以线性变换的眼光看叉积

随手记

• 为什么两个三维向量叉乘可以写成第一列为三个基向量的 $3x3$ 行列式?
• 为什么叉乘向量的三个坐标是 $v_2w_3-v_3w_2, v_3w_1-v_1w_3, v_1w_2-v_2w_1$ ？

考虑如下这样的函数：

该函数的几何意义在于，对于任意输入的向量 $(x,y,z)$ ，考虑他与 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 确定的平行六面体，得到他的体积，根据取向确定符号。

这个函数是线性的，由于是从三维到一维的变换，就可以用一个 $1×3$ 的矩阵来表示这个变换（点积中的对偶性），这里把这个矩阵当作颠倒的向量 $\vec{p}$ 。

计算意义：

左侧是 $\vec{p}$ 与 $(x,y,z)$点乘的结果，右边是行列式的值，对应来看，可以得到 $\vec{p}$ 的坐标。
这和前面提到的 $(\hat i,\hat j, \hat l)$ 一致。
那么对于第一个问题的答案就通过这个线性函数 $f(x)$ 转化为：
将 $\vec{p}$ 和某个向量 $(x,y,z)$ 点乘时，结果等于一个 $3x3$ 矩阵的行列式，这个矩阵的第一列为 $[x,y,z]^T$ ，第二三列为 $\vec{v}$、$\vec{w}$ 的坐标，什么样的 $\vec{p}$ 可以满足这个性质。

几何角度：
左边：

注意到是 $(x,y,z)$ 的投影长度 × $\vec{p}$ 的长度。

右边：

是平行六面体的体积，首先计算 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 确定的平行四边形面积。该体积等于 $(x,y,z)$ 到该四边形垂线的分量与面积的成绩。

左右相等，相当于这个向量 $\vec{p}$ 为模长为平行四边形面积，与$\vec{v}$ 和 $\vec{w}$确定平面垂直，方向满足右手定则的向量。按叉积的定义，这个 $\vec{p}$ 就是叉积。