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1. 向量究竟是什么？

视频

“The introduction of numbers as coordinates is an act of violence ——Hermann Weyl”
“引入一些数作为坐标是一种莽撞的行为 ——赫尔曼·外尔”

随手记

三种看待向量的角度
  1. 空间中的箭头，决定一个向量的是他的长度和他所知的方向。
  2. 有序的数字列表。
  3. 向量是保证向量相加以及数字与向量相乘有意义的任何东西。

注意：线性代数围绕两种基本运算：v⃗+w⃗\vec{v}+\vec{w}、kv⃗k\vec{v} 。

1.和2.两种观点碰撞出向量的重要概念。
向量的坐标表明了向量以原点为起点，向x轴某方向和y轴某方向运动的距离，按这个距离走完之后到达向量的终点，将原点与之相连，便得出一段有方向的线段–向量。

v⃗+w⃗\vec{v}+\vec{w} ：为何以“数字列表”对应元素相加来定义向量加法？直观理解，沿着两个向量方向运动，先按 v⃗\vec{v} 坐标标注的那样沿坐标轴运动，再按 w⃗\vec{w} 坐标标注的那样沿坐标轴运动，运动后的结果与依次按坐标轴走完两个向量在该坐标轴的运动一致。
kv⃗k\vec{v} : 对向量的缩放。

数学家为何只选取这两种运算，并如何将他们抽象出来？

标准定义

向量

设 K\mathbb{K} 是一个数域，a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 是 K\mathbb{K} 中的元素，由 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 组成的有序数组 (a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\dots,a_n) 称为数域 K\mathbb{K} 上的一个 nn 维行向量。

列向量同理。