牛顿迭代法求开 n 次方

牛顿迭代法本身是一种对于高次多项式数值解的一种方法。考研的时候，某个学校的题竟然要手动开n次方，虽然以前背过常见的开平方的值，比如 $\sqrt{2}=1.414，\sqrt{3}=1.732，\cdots$，但对于高次的复杂的没啥意义。
于是就想到这个方法。基本上迭代个三四次精度就很不错了。
求根式 $\sqrt[n]{A}$ 的值，等同于求方程 $x^n-A=0$ 的解，或者说是求 $f(x)=x^n-A$，求 $f(x)=0$ 的根。
这实际上是牛顿迭代法的一个特例。形式上，计算上都要简单一些，也就为手算提供可能。

牛顿迭代法

首先，要找到一个初始值 $x_0$，要尽量接近解（避免过多无效的迭代）。如果初始值 $x_0$ 不是解，则过$(x_0,f(x_0))$点作 $f(x)$ 的切线与 $x$ 轴交于点 $x_1$。若 $x_1$ 不是解，则过$(x_1,f(x_1))$点作 $f(x)$ 的切线与 $x$ 轴交于点 $x_2$，依次类推。直到 $x_n$ 是方程的解，或 $x_n$ 满足要求的精度。
通常用牛顿迭代法难以求到解析解，一般情况下，数值解也够了（例如：应对手动开n次方）

迭代关系式

令初始点为 $(x_i,f(x_i))$ ，切线方程为 $f(x)=f(x_i)+f'(x_i)(x-x_i)$，
其中，$f'(x_i)$ 为 $f(x_i)$ 的倒数，令切线方程为0，则有：

$$x_{i+1}=x_i-\cfrac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$

带入 $f(x)=x^n-A$，则有：

$$x_{i+1}=x_i-\cfrac{x_{i}^{n}-A}{nx_i^{n-1}}=x_i-\cfrac{x_i}{n}+\cfrac{A}{nx_{i}^{n-1}}=\cfrac{(n-1)x_i}{n}+\cfrac{A}{nx_{i}^{n-1}}$$

例子

以 $\sqrt[5]{97.24}=2.49786515707$ ，求解的方程为 $f(x)=x^5-97.24$
首先确定初始值，$\sqrt[5]{97.24}$ 开五次方大概是 $2$ 点多（$2^5=32，3^5=243$），那么 $f(x)=x^5-97.24$ 初始值就从 $x_0 (2,-65.24)$ 开始，因为2，比3更接近零点。
则：$x_1=\cfrac{(n-1)x_0}{n}+\cfrac{A}{nx_{0}^{n-1}}=\cfrac{(5-1)2}{5}+\cfrac{97.42}{5×2^{5-1}}=2.8155$，则 $x_1=2.8155$
以此类推 $x_2=2.562$，$x_3=2.501$，$x_4=2.501$，$x_5=2.49787$
此时迭代了 5 次，精度就很可观了。