1/(sinx＋cosx) 的不定积分

关键在于变换三角函数形式，将其转化为已知积分的函数。包括但不限于，换元、辅助角、半角甚至复数。

辅助角公式换元

令：

$$I(a,b)=\int \frac{1}{a\sin x+b\cos x}dx$$

由辅助角公式：

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{ a^{2}+b^{2} }\bigg( \frac{a}{ a^{2}+b^{2} }\sin x+\frac{b}{ a^{2}+b^{2} }\cos x \bigg)$$

设：$\cfrac{a}{a^{2}+b^{2}}=\cos\alpha,\cfrac{b}{a^{2}+b^{2}}=\sin\alpha$，$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin{(x+\alpha)}$，其中$\alpha=\arctan{\cfrac{a}{b}}$
则有：

$$I(a,b)=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\int \frac{1}{\sin{(x+\alpha)}}dx=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\int \csc{(x+\alpha)}d(x+\alpha)$$

熟知：

$$\begin{aligned} \int \csc udu &= \int\cfrac{\sin u}{\sin^2 u}du=-\int\cfrac{d(\cos u)}{1-\cos^2 u}\\ &= -\frac{1}{2}\int(\cfrac{1}{1-\cos u}+\cfrac{1}{1+\cos u})d(\cos u)\\ &= -\frac{1}{2}[-\ln(1-\cos u)+\ln(1+\cos u)+C]\\ &= \ln\left|\sqrt{\frac{1-\cos u}{1+\cos u}}\right|+C=\ln\left|\sqrt{\frac{2\sin^ \frac{u}{2}}{2\cos^ \frac{u}{2}}}\right|+C\\ &= \ln\left|\tan\frac{u}{2}\right|+C \end{aligned}$$

故：

$$(a,b)=\frac{1}{\sqrt{ a^{2}+b^{2}}}\int\left|\tan\frac{x+\alpha}{2} \right| dx$$

其中$\alpha = \arctan\cfrac{b}{a}$
则有：

$$\int\frac{1}{\sin x+\cos x}dx=I(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\tan\frac{x+\frac{\pi}{4}}{2}\right|$$